Kalkulus LIMIT TRIGONOMETRI

 Written by Riska Oktafia, NPM. 21312073, Kelas IF 21 C, S1 Informatika

1. Pengertian

Limit trigonometri merupakan nilai paling dekat dari suatu sudut. Istilah-istilah yang ada dalam trigonometri yaitu sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), secan (sec), cosecan (csc), dan cotangent (ctg).

Contoh Soal

LIMIT TAK HINGGA & LIMIT DI TAK HINGGA

Pengertian

Limit tak hingga & limit di tak hingga merupakan kajian yang tepat untuk mengetahui kecendrungan suatu fungsi jika nilai variabelnya dibuat semakin besar. Kita katakan, x menuju tak hingga, ditulis x → ∞, artinya nilai x semakin besar atau bertambah besar tanpa batas.

Bentuk Umum

Contoh Soal

.

1. Jika pangkat x pada pembilang lebih besar dari penyebut maka hasil akan selalu tak hingga (∞).

2. Jika pangkat x pada penyebut lebih besar dari pembilang maka hasil akan selalu 0.

Sumber :

https://youtu.be/v5Yvmn3bK6U

https://youtu.be/inn3_yf6qcI

KONVERSI BILANGAN DAN ARITMATIKA INTEGER

 Written by Riska Oktafia, NPM.21312073, Kelas IF 21 C

A. Konversi Bilangan 

Konversi bilangan adalah proses mengubah bentuk bilangan satu ke bentuk bilangan lain yang memiliki nilai yang sama. 

1. Bilangan Biner

Bilangan Biner terdiri dari dua basis, yaitu 0 dan 1. Untuk mempermudah saat menghitung, bilangan ini akan diterjemahkan kedalam basis 10 dahulu.

Dalam menghitung basis biner ke desimal, menggunakan penjumlahan 2 pangkat sekian. Berikut ini contoh bilangan biner 1000(2) ke desimal.

     1          0          0         0

2³ x 1  2² x 0  2¹ x 0  2⁰ x 0

= 8 + 0 + 0 + 0 = 8

Jadi, 1000(2) = 8(10)

2. Bilangan Oktal

Bilang ini terdiri dari 8 basis, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7. Cara menghitungnya sama dengan biner, perbedaannya adalah menggunakan penjumlahan 8 pangkat. Berikut contoh 1122(8) ke desimal.

     1           1            2            2

8³ x 1   8² x 1    8¹ x 2    8⁰ x 2

= 512 + 64 + 16 + 2 = 594

Jadi, 1122(8) = 594(10)

3. Bilangan Hexadesimal

Bilangan ini terdiri atas 16 basis, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, dan F. Huruf – huruf tersebut sebagai lanjutan dari angka – angka sebelumnya.

Dalam menghitung basis hexadesimal ke desimal, menggunakan penjumlahan 16 pangkat. Berikut ini contoh bilangan hexadesimal 22(16) ke desimal.

        2             2

 16¹ x 2   16⁰ x 2 

= 32 + 2 = 34

 Jadi, 22(16) = 34(10)

4.Bilangan Desimal

Bilangan ini, terdiri dari 10 basis angka, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 0.

Selain itu, bilangan desimal juga dapat dikonversikan kedalam basis bilangan lainnya.

Namun, desimal merupakan kebalikan dari penjumlahan basis lain, yaitu dengan cara pembagian.

B. Operasi Aritmatika Integer 

1. Penjumlahan   

Pada penjumlahan bilangan biner sebenarnya sama saja dengan proses penjumlahan pada bilangan desimal atau yang biasa kita lakukan. Hanya saja angka dalam bilangan biner hanya terdiri dari angka 0 dan 1, dan memiliki aturan dasar, yaitu:

0 + 0 =0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0, karena digit terbesar biner adalah 1, maka hasilnya dikurangi 2. (1+1= 2, 2-2=0, carry / simpanannya 1 yang akan digabungkan dengan perhitungan berikutnya) 

Contohnya:

Pada perhitungan penjumlahan bilangan decimal:

15 + 35 = 50

Dan pada penjumlahan bilangan binernya adalah:

1111 + 100011 = ....

Penyelesaian

Lakukan perhitungan berdasarkan aturan dasar penjumlahan bilangan biner, maka hasilnya:

      1111

  100011 +

110010

Penjelasan

Perhitungan diawali dari sebelah kanan, maka prosesnya adalah:

1 + 1 = 0, simpan 1, gabungkan dengan perhitungan berikutnya.

1 + 1 + 1 = 1, simpan 1, gabungkan dengan perhitungan berikutnya.

1 + 1 + 0 = 0, simpan 1, gabungkan dengan perhitungan berikutnya.

1 + 1 + 0 = 0, simpan 1, gabungkan dengan perhitungan berikutnya.

1 + 0 =1, tidak ada simpanan

0 + 1 = 1,tidak ada simpanan

Maka hasilnya (diawali dari bawah) = 110010

2. Pengurangan

Pada pengurangan bilangan biner sebenarnya sama saja dengan proses pengurangan pada bilangan decimal atau yang biasa kita lakukan. Hanya saja angka dalam bilangan biner hanya terdiri dari angka 0 dan 1, dan memiliki aturan dasar, yaitu:

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1.

1 – 1 = 0

0 - 1 = 1 --> dengan pinjaman 1, (pinjam 1 dan posisi sebelah kirinya).

Contoh:

Pada perhitungan pengurangan bilangan desimal:

50 – 35 = 15

Dan pada pengurangan bilangan binernya adalah:

110010 – 100011 = ....

Penyelesaian

Lakukan perhitungan berdasarkan aturan dasar pengurangan bilangan biner, maka hasilnya:

110010

100011 -

    1111

Penjelasan:

Perhitungan diawali dari sebelah kanan, maka prosesnya adalah:

0 – 1 = 1, (pinjam 1 dari posisi kirinya, dalam bilangan biner 1 kali pinjam bernilai 2 digit)

0 – 1 = 1, (karena sudah dipinjam jadi sisa 0, kemudian pinjam 1 dari posisi kirinya yang berdigit 1)

1 – 0 = 1, (karena pinjam 1 dari sebelah kirinya)

1 – 0 = 1, (karena pinjam 1 dari sebelah kirinya)

0 – 0 = 0, (karena sudah dipinjam jadi sisa 0)

1 – 1 = 0

Hasilnya 001111 (angka nol di sebelah kiri abaikan) jadi hasilnya = 1111

 

3. Perkalian

Pada perkalian bilangan biner sebenarnya sama saja dengan proses perkalian pada bilangan decimal atau yang biasa kita lakukan. Hanya saja angka dalam bilangan biner hanya terdiri dari angka 0 dan 1, dan memiliki aturan dasar, yaitu:

0 x 0 = 0

1 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 1 = 1

Contoh:

Pada perhitungan perkalian bilangan decimal:

15 x 9 = 135

Dan pada perkalian bilangan binernya adalah:

1111 x 1001 = ....

Penyelesaian

Lakukan perhitungan berdasarkan aturan dasar pengurangan bilangan biner, maka hasilnya:

Penjelasan:

Proses perhitungan dilakukan seperti mengalikan biasa, yaitu masing-masing angka di bawah yang diawali dari sebelah kanan dikalikan dengan seluruh angka yang ada di atasnya, prosesnya yaitu:

Angka pertama bawah dari sebelah kanan yaitu angka 1 dikalikan dengan seluruh angka di atas yaitu 1111 hasilnya adalah 1111

Angka kedua bawah dari sebelah kanan yaitu angka 0 dikalikan dengan seluruh angka di atas yaitu 1111 hasilnya adalah 0000

Angka ketiga bawah dari sebelah kanan yaitu angka 0 dikalikan dengan seluruh angka di atas yaitu 1111 hasilnya adalah 0000

Angka keempat bawah dari sebelah kanan yaitu angka 1 dikalikan dengan seluruh angka di atas yaitu 1111 hasilnya adalah 1111

Meletakkan hasil perhitungan bisa di lihat pada gambar di atas (seperti perkalian bersusun pada umumnya).

Selanjutnya adalah proses menjumlahkan seperti aturan menjumlahkan bilangan biner yang sudah di jelaskan di atas. Maka hasilnya adalah 10000111.

 

4. Pembagian

Pada pembagian bilangan biner sebenarnya sama saja dengan proses pembagian pada bilangan decimal atau yang biasa kita lakukan. Hanya saja angka dalam bilangan biner hanya terdiri dari angka 0 dan 1, dan memiliki aturan dasar, yaitu:

0 : 1 = 0

1 : 1 = 1 

Contoh :

Pada perhitungan pembagian bilangan decimal:

50 : 5 = 10

Dan pada pembagian bilangan binernya adalah:

110010 : 101 = ....

Penyelesaian

Lakukan perhitungan berdasarkan aturan dasar pengurangan bilangan biner, maka hasilnya:

Penjelasan:

Proses perhitungan dimulai dari 3 digit pertama dari sebelah kiri yang ada dalam kurung

Kemudian dibagi dengan digit 101, disimpan hasil kalinya 1

Lakukan proses pengurangan, karena digit hasil pengurangan tidak bisa di bagi dengan 101, maka digit 101 dikali digit 0, dan simpan hasil kalinya.

Lakukan proses pengurangan, karena digit hasil pengurangan tidak bisa di bagi dengan 101, maka turunkan digit 1 yang ada dalam kurung

Kemudian bagi dengan digit 101, disimpan hasil kalinya 1

Lakukan proses pengurangan, karena hasil pengurangannya 0, dan masih tersisa digit 0 dalam kurung pembagi, maka tinggal disimpan di bagian digit hasil kali bagian kanan.

Kalkulus LIMIT FUNGSI

Written by Riska Oktafia_NPM.21312073_ Kelas IF 21 C_S1 Informatika 

Limit Fungsi

Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu. Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) "dekat" pada L ketika x dekat pada p. (Sumber Wikipedia)

Berikut ini Bentuk Umum Limit Fungsi :

Sifat-Sifat Limit Fungsi :

Menentukan Nilai Limit Fungsi

Limit fungsi aljabar dibagi menjadi dua, yaitu limit fungsi untuk x mendekati a dan limit fungsi di titik tak berhingga. Berikut penjelasannya :

Menentukan Nilai Limit Fungsi untuk x Mendekati a

misalkan 

f(x) memiliki nilai limit untuk  x a. Maka, nilai limitnya dapat ditentukan dengan cara:

Metode Subtitusi

misalkan fungsi f terdefinisi di setiap nilai x bilangan real dan limit nilai fungsi sama dengan nilai fungsi. Untuk memperoleh nilai limitnya, kita dapat mensubtitusikan secara langsung ke dalam fungsi tersebut.

Contoh ;

Metode Pemfaktoran

Jika limit suatu fungsi yang dikerjakan dengan metode subtitusi menghasilkan nilai, maka kita harus menggunakan metode lain, misalnya pemfaktoran. Untuk mempermudah perhitungan dengan cara pemfaktoran, berikut ini beberapa bentuk faktorisasi aljabar yang sering digunakan :

Contoh :

Metode Mengalikan Faktor Sekawan

Limit fungsi yang akan kita tentukan nilainya dengan mengalikan faktor sekawan biasanya mengandung tanda akar. Beberapa bentuk faktor sekawan yang sering digunakan dalam menentukan limit fungsi diantaranya:

LIMIT SEPIHAK (LIMIT KANAN DAN KIRI)

Limit kanan adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kanan.

Contoh :

Limit kiri adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kiri.

Contoh :

Sumber :

https://edura.id/blog/matematika/limit-fungsi-aljabar/

https://belajarkalkulus.com/limit-kanan-dan-limit-kiri/

Kalkulus DOMAIN DAN RANGE

 Written by Riska Oktafia, NPM. 21312073, Kelas IF 21 C, S1 Informatika

Definisi 

Domain dari fungsi f adalah himpunan semua nilai yang menyebabkan fungsi f terdefinisi, sedangkan Range dari fungsi f adalah himpunan semua nilai dari f yang memenuhi. Misalkan saya punya fungsi y=f(x), maka domain nya adalah semua kemungkinan dari nilai x, sedangkan range nya adalah semua kemungkinan dari nilai y.

Contoh :

-) Jika fungsi f(x)=2x+1,1≤x≤5 maka tentukan domain dan range fungsi tersebut.

Perhatikan bahwa fungsi tersebut hanya terdefinisi pada selang [1,5] maka dari itu domain fungsi diatas adalah 1≤x≤5. Kemudian untuk range nya yaitu mencari semua nilai yang mungkin bagi f(x) atau 2x+1. Karena 1≤x≤5 maka 2x+1 nya berapa?? Jadi 3≤2x+1≤11. Maka range dari fungsi tersebut adalah 3≤f(x)≤11.

Grafik Fungsi

1. Fungsi Linear

Bentuk umum : f(x) = ax + b dimana ax adalah koefisien dan b adalah konstanta

grafik fungsi linear : Garis lurus

2. Fungsi Kuadrat

Bentuk umum : f(x) = ax2 + bx + c dimana ax2 dan bx adalah koefisien dan c adalah konstanta.

3. Fungsi Akar

Bentuk umum : 

Df ={x ∈ R |g(x) ≥ 0} Rf = [0,∞}

Tentukan Df dan Rf dari f(x) = x − 3

Df = {x ∈ R | x -3 ≥ 0}

     = {x ∈ R | x ≥ 3}

     = [3,∞}

Rf = [0,∞}

4. Fungsi Banyak Aturan

Contoh :

 diketahui f(x) = √x g(x)=x-2 tentukan

Dfog dan Rfog

Df = { x ∈ R | x ≥ 0} Dg= [-∞ ∞)

      = [0,∞)

Rf = [0,∞) Rg= [-∞ ∞)

Lalu apakah fog ada?

Df ∩ Rg = [0,∞) ∩ [-∞ ∞) =[0,∞) ≠ ∅

Jadi fog ada atau terdefinisi

(fog) (x) = f(g(x)) = f(x-2) = √x-2

Untuk mencari Dfog maka harus menguraikan beberapa bentuk

Dfog = { x ∈ Dg | g(x) ∈ Df }

         = { x ∈ (-∞, ∞) | x-2 ∈ [0, ∞) }

         = { x ∈ (-∞, ∞) | x-2 ≥ 0}

         = { x ∈ (-∞, ∞) | x ≥ 2}

         = (-∞, ∞) ∩ [2, ∞)

         = [2, ∞)

Fungsi Komposisi

Rfog = { y ∈ Rf | y = f(t), t ∈ Rg }

         = { y ∈ [0, ∞) | y = √t, t ∈ (-∞, ∞) }

         = { y ∈ [0, ∞) | y ∈ [0, ∞) }

         = [0, ∞) ∩ [0, ∞)

         = [0, ∞)

Apabila kita ingin mencari Dgof maka caranya:

Dgof = { x ∈ Df | f(x) ∈ Dg }

         = { x ∈ (-∞, ∞) | √x ∈ (-∞, ∞) }

         = { x ∈ (-∞, ∞) | x ∈ [-∞, ∞) }

         = (-∞, ∞) ∩ [0, ∞)

         = [0, ∞)

Rfog = { y ∈ Rg | y = g(t), t ∈ Rf }

         = { y ∈ (-∞, ∞) | y = t-2, t ∈ [0, ∞) }

                                     t y=t-2

                                     0 -2

                                     1 -1

                                     2 0

                                     3 1

        = { y ∈ (-∞, ∞) | y ∈ [-2, ∞) }

        =[-2, ∞)